Question

已知函数f（x）=[cos（x-）+sin（）]•2cos（2π-x）．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将f（x）按向量平移后图象关于原点对称，求当||最小时的．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用两角和的正弦公式化简函数f（x）的解析式为sin（2x-）-1，由此求得它的最小正周期的值以及单调增区间．
（2）设=（a，b），f（x）按向量平移后，所得函数的解析式为 y=sin[2（x-a）-）+b-1，根据所得函数是奇函数，故有-2a-=kπ，k∈z，且b-1=0．当||最小时，
a=，b=1，由此可得的坐标．
解答：解：（1）函数f（x）=[cos（x-）+siin（）]•2cos（2π-x）=（sinx-cosx ）•2cosx
=sin2x-cos2x-1=sin（2x-）-1．
故函数的最小正周期为 =π．
令  2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，可得 kπ-≤x≤kπ+，故函数的增区间为[kπ-，kπ+]．
（2）设=（a，b），将f（x）按向量平移后，所得函数的解析式为 y=sin[2（x-a）-）+b-1，
图象关于原点对称，故所得函数是奇函数，故有-2a-=kπ，k∈z，且b-1=0．
当||最小时，a=，b=1． 此时，=（，1）．
点评：本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的单调性、周期性、定义域和值域，以及二倍角公式的应用，属于中档题．