Question

如图，已知正方形ABCD的边长为1，FD⊥平面ABCD，EB⊥平面ABCD，FD=BE=1，M为BC边上的动点．
（1）证明：ME∥平面FAD；
（2）试探究点M的位置，使平面AME⊥平面AEF．

Answer 1

分析：（1）由FD∥EB，AD∥BC，证明平面FAD∥平面EBC，从而证明 ME∥平面FAD．
（2）建立空间直角坐标D-xyz，设M（λ，1，0），求出平面AEF的法向量为

n1

 的坐标，平面AME的法向量为

n2

 的坐标，由

n1

•n2

=0，可得λ值，从而确定M在线段BC上的位置．

解答：解：（1）∵FD⊥平面ABCD，EB⊥平面ABCD，∴FD∥EB，又 AD∥BC且AD∩FD=D，BC∩BE=B，
∴平面FAD∥平面EBC，ME?平面EBC，∴ME∥平面FAD．
（2）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DF所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标D-xyz，
依题意，得D（0，0，0），A（1，0，0），F（0，0，1），C（0，1，0），B（1，1，0），E（1，1，1），
设M（λ，1，0），平面AEF的法向量为

n1

=（x₁，y₁，z₁），平面AME的法向量为

n2

=（x₂，y₂，z₂），
∵

AE

=（0，1，1），

AF

=（-1，0，1），∴

n1 • AE =0 n1 • AF =0

，∴

y1+z1=0 z1-x1=0

．
取z₁=1，得x₁=1，y₁=-1，∴

n1

=（1，-1，0）． 又

AM

=（λ-1，1，0），

AE

=（0，1，1），
∴

n2 • AE =0 n2 • AM =0

，∴

y2+z2=0 x2(λ-1)+y2=0

，取x₂=1得y₂=1-λ，z₂=λ-1，∴

n2

=（1，1-λ，λ-1），
若平面AME⊥平面AEF，则

n1

⊥

n2

，∴

n1

•n2

=0，∴1-（1-λ）+（λ-1）=0，解得λ=

1

2

，
此时M为BC的中点．所以当M在BC的中点时，AME⊥平面AEF．

点评：本题考查证明先面平行的方法，以及利用两个平面的法向量垂直来证明两个平面垂直，求出两个平面的法向量是解题的
关键．