Question

19．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=$\frac{1}{2}$，公比q＞0，S₁+a₁，S₃+a₃，S₂+a₂成等差数列．
（1）求a_n；
（2）设b_n=$\frac{1}{{{{（{{{log}_2}{a_n}}）}^2}}}，{c_n}=（{n+1}）{b_n}{b_{n+2}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过S₁+a₁，S₃+a₃，S₂+a₂成等差数列化简可知4a₃=a₁，进而可知$q=\frac{1}{2}$，计算即得结论；
（2）通过（1）裂项可知c_n=$\frac{1}{4}$[$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$]，进而并项相加即得结论．

解答 解：（1）因为S₁+a₁，S₃+a₃，S₂+a₂成等差数列，
所以S₃+a₃-S₁-a₁=S₂+a₂-S₃-a₃．…（1分）
化简得4a₃=a₁．…（3分）
所以${q^2}=\frac{a_3}{a_1}=\frac{1}{4}$．
因为q＞0，所以$q=\frac{1}{2}$．…（4分）
故${a_n}={a_1}{q^{n-1}}=\frac{1}{2}×{（\frac{1}{2}）^{n-1}}={（\frac{1}{2}）^n}$．…（6分）
（2）由（1）可知${b_n}=\frac{1}{{{{（{{log}_2}{a_n}）}^2}}}=\frac{1}{{{{[{{log}_2}{{（\frac{1}{2}）}^n}]}^2}}}=\frac{1}{{{{（-n）}^2}}}=\frac{1}{n^2}$．…（8分）
${c_n}=（n+1）{b_n}{b_{n+2}}=\frac{n+1}{{{n^2}•{{（n+2）}^2}}}=\frac{1}{4}[\frac{1}{n^2}-\frac{1}{{{{（n+2）}^2}}}]$．…（10分）
T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n-1+c_n
=$\frac{1}{4}[（\frac{1}{1^2}-\frac{1}{3^2}）+（\frac{1}{2^2}-\frac{1}{4^2}）+（\frac{1}{3^2}-\frac{1}{5^2}）+…+（\frac{1}{{{{（n-1）}^2}}}-\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}）+（\frac{1}{n^2}-\frac{1}{{{{（n+2）}^2}}}）]$
=$\frac{1}{4}[1+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}-\frac{1}{{{{（n+2）}^2}}}]$
=$\frac{1}{4}[\frac{5}{4}-\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}-\frac{1}{{{{（n+2）}^2}}}]$…（12分）

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．