Question

15．如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径AB的长为2km，C，D两点在半圆弧上，且BC=CD，设∠COB=θ；
（1）当$θ=\frac{π}{12}$时，求四边形ABCD的面积．
（2）若要在景区内铺设一条由线段AB，BC，CD和DA组成的观光道路，则当θ为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值．

Answer 1

分析 （1）连接OD，则∠COD=$\frac{π}{12}$，∠AOD=$\frac{5}{6}$π，即可求出四边形ABCD的面积；
（2）利用余弦定理求出BC，CD，DA，可得l，利用换元、配方法，即可得出结论

解答 解：（1）连接OD，则∠COD=$\frac{π}{12}$，∠AOD=$\frac{5}{6}$π，∴四边形ABCD的面积为2×$\frac{1}{2}$×1×1×sin$\frac{π}{12}$+$\frac{1}{2}$×1×1×sin$\frac{5}{6}$π=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$+$\frac{1}{4}$；
（2）由题意，BC=CD=$\sqrt{2-2cosθ}$=2sin$\frac{θ}{2}$，DA=$\sqrt{2+2cos2θ}$=2cosθ，
∴l=2+4sin$\frac{θ}{2}$+2cosθ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），
令t=sin$\frac{θ}{2}$，则（0＜t＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$），l=-4（t-$\frac{1}{2}$）²+5，
∴t=$\frac{1}{2}$时，即θ=$\frac{π}{3}$，l的最大值为5．

点评 本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，确定函数的解析式是关键．