Question

已知定圆C：x²+（y-3）²=4，过点A（-1，0）的一条动直线l与圆C相交于P，Q两点，若|PQ|=2

3

，则直线l的方程为（　　）

A．4x-3y+4=0

B．3x-4y+3=0

C．4x-3y+4=0或x=-1

D．x=-1

Answer 1

分析：根据题意画出图形，过C作CM垂直于PQ，根据垂径定理得到M为弦PQ的中点，求出|PM|的长，由圆的半径和|PM|，利用勾股定理求出|CM|，即为圆心C到直线l的距离，分两种情况：直线l的斜率不存在时，显然直线x=-1满足题意；当直线l斜率存在时，设出斜率为k，由直线l过A点，表示出直线l的方程，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，让d等于求出的|CM|列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，从而确定出直线l的方程，综上，得到所有满足题意的直线l的方程．

解答：解：由题意画出图形，如图所示：
过圆心C作CM⊥PQ，则|MP|=|MQ|=

1

2

|PQ|=

3

，
由圆C的方程得到圆心C坐标（0，3），半径r=2，
在Rt△CPM中，根据勾股定理得：CM=1，即圆心到直线的距离为1，
（i）直线l的斜率不存在时，显然直线x=-1满足题意；
（ii）直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，由A（-1，0），
得到直线l的方程为y=k（x+1），即kx-y+k=0，
圆心到直线l的距离d=

|-3+k|

1+k2

=1，解得k=

4

3

，
所以直线l为4x-3y+4=0，
综上，满足题意的直线l为x=-1或4x-3y+4=0．
故选C

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，利用了数形结合及分类讨论的思想，用到的知识有：垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．若直线与圆相交时，常常利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形解决问题．解本题时注意满足题意的直线l有两条，不要漏解．