Question

15．已知椭圆$W：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，其左顶点A在圆O：x²+y²=16上．
（Ⅰ）求椭圆W的方程；
（Ⅱ）若点P为椭圆W上不同于点A的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q．是否存在点P，使得$\frac{|PQ|}{|AP|}=3$？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意求出a，通过离心率求出c，然后求解椭圆的标准方程．
（Ⅱ）法一：设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），设直线AP的方程为y=k（x+4），与椭圆方程联立，利用弦长公式求出|AP|，利用垂径定理求出|oa|，即可得到结果．
法二：设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），设直线AP的方程为x=my-4，与椭圆方程联立与椭圆方程联立得求出|AP|，利用垂径定理求出|oa|，即可得到结果．
法三：假设存在点P，推出$\frac{{|{y_Q}|}}{{|{y_P}|}}=4$，设直线AP的方程为x=my-4，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，推出$\frac{{{m^2}+4}}{{{m^2}+1}}=4$，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）因为椭圆W的左顶点A在圆O：x²+y²=16上，
令y=0，得x=±4，所以a=4．…．（1分）
又离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，所以$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，所以$c=2\sqrt{3}$，…．（2分）
所以b²=a²-c²=4，…．（3分）
所以W的方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$．…．（4分）
（Ⅱ）法一：设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），设直线AP的方程为y=k（x+4），…．（5分）
与椭圆方程联立得$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+4）\\ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$，
化简得到（1+4k²）x²+32k²x+64k²-16=0，…．（6分）
因为-4为上面方程的一个根，所以${x_1}+（-4）=\frac{{-32{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$，所以${x_1}=\frac{{4-16{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$．…．（7分）
所以$|AP|=\frac{{8\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+4{k^2}}}$．…．（8分）
因为圆心到直线AP的距离为$d=\frac{|4k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，…．（9分）
所以$|AQ|=2\sqrt{16-{d^2}}=2\sqrt{\frac{16}{{1+{k^2}}}}=\frac{8}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，…．（10分）
因为$\frac{|PQ|}{|AP|}=\frac{|AQ|-|AP|}{|AP|}=\frac{|AQ|}{|AP|}-1$，…．（11分）
代入得到$\frac{|PQ|}{|AP|}=\frac{{\frac{8}{{\sqrt{1+{k^2}}}}}}{{\frac{{8\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+4{k^2}}}}}-1=\frac{{1+4{k^2}}}{{1+{k^2}}}-1=\frac{{3{k^2}}}{{1+{k^2}}}=3-\frac{3}{{1+{k^2}}}$．…．（13分）
显然$3-\frac{3}{{1+{k^2}}}≠3$，所以不存在直线AP，使得$\frac{|PQ|}{|AP|}=3$．…．（14分）
法二：
设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），设直线AP的方程为x=my-4，…．（5分）
与椭圆方程联立得$\left\{\begin{array}{l}x=my-4\\ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$
化简得到（m²+4）y²-8my=0，由△=64m²＞0得m≠0．…．（6分）
显然0是上面方程的一个根，所以另一个根，即${y_1}=\frac{8m}{{{m^2}+4}}$．…．（7分）
由$|AP|=\sqrt{1+{m^2}}|{y_1}-0|=\frac{{8\sqrt{1+{m^2}}|m|}}{{{m^2}+4}}$，…．（8分）
因为圆心到直线AP的距离为$d=\frac{|4|}{{\sqrt{1+{m^2}}}}$，…．（9分）
所以$|AQ|=2\sqrt{16-{d^2}}=2\sqrt{\frac{{16{m^2}}}{{1+{m^2}}}}=\frac{8|m|}{{\sqrt{1+{m^2}}}}$．…．（10分）
因为$\frac{|PQ|}{|AP|}=\frac{|AQ|-|AP|}{|AP|}=\frac{|AQ|}{|AP|}-1$，…．（11分）
代入得到$\frac{|PQ|}{|AP|}=\frac{{\frac{8|m|}{{\sqrt{1+{m^2}}}}}}{{\frac{{8\sqrt{1+{m^2}}|m|}}{{{m^2}+4}}}}-1=\frac{{{m^2}+4}}{{1+{m^2}}}-1=\frac{3}{{1+{m^2}}}$，…．（13分）
若$\frac{3}{{1+{m^2}}}=3$，则m=0，与m≠0矛盾，矛盾，
所以不存在直线AP，使得$\frac{|PQ|}{|AP|}=3$．…．（14分）
法三：假设存在点P，使得$\frac{|PQ|}{|AP|}=3$，则$\frac{|AQ|}{|AP|}=4$，得$\frac{{|{y_Q}|}}{{|{y_P}|}}=4$．…．（5分）
显然直线AP的斜率不为零，设直线AP的方程为x=my-4，…．（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}x=my-4\\ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$，得（m²+4）y²-8my=0，
由△=64m²＞0得m≠0，…．（7分）
所以${y_P}=\frac{8m}{{{m^2}+4}}$．…．（9分）
同理可得${y_Q}=\frac{8m}{{{m^2}+1}}$，…．（11分）
所以由$\frac{{|{y_Q}|}}{{|{y_P}|}}=4$得$\frac{{{m^2}+4}}{{{m^2}+1}}=4$，…．（13分）
则m=0，与m≠0矛盾，
所以不存在直线AP，使得$\frac{|PQ|}{|AP|}=3$．…．（14分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的方程的求法，考查转化思想以及计算能力．