练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0），以F1（-c，0）为圆心，以a-c为半径作圆F1，过点B2（0，b）作圆F1的两条切线，设切点为M、N．
    （1）若过两个切点M、N的直线恰好经过点B1（0，-b）时，求此椭圆的离心率；
    （2）若直线MN的斜率为-1，且原点到直线MN的距离为4（
    		2
    -1），求此时的椭圆方程；
    （3）是否存在椭圆E，使得直线MN的斜率k在区间（-
    		2
    2
    ，-
    		3
    3
    ）内取值？若存在，求出椭圆E的离心率e的取值范围；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）根据圆的切线的性质，结合题意可得B2、M、F1、N四点在以B2F1为直径的圆上，求得过此四点的圆方程是（x+
    c
    2
    ）2+（y-
    b
    2
    ）2=
    1
    4
    (b2+c2)    ，而圆F1的方程是（x+c）2+y2=（a-c）2，将圆方程相减得到公共弦MN的方程，将点B1的坐标代入并化简，即可解出此椭圆的离心率；
    （2）由题意得b=c，利用点到直线的距离公式求出原点到直线MN的距离，得到关于a、c的等式，联解得出a、b之值，可得此时的椭圆方程；
    （3）由（1）的计算可得：假设满足条件的椭圆存在，则-
    		2
    2
    ＜-
    c
    b
    ＜-
    		3
    3
    成立，由此利用椭圆的平方关系和离心率公式，将不等式等价变形得到离心率e∈（
    1
    2
    ，
    		3
    3
    ），从而得出满足条件的椭圆离心率的取值范围．
    解答：解：（1）∵圆F1以（-c，0）为圆心，以a-c为半径，
    ∴圆F1的方程是（x+c）2+y2=（a-c）2，
    ∵B2M、B2N与圆F1切于M、N点，∴B2、M、F1、N四点共圆，且B2F1为直径，
    由此可得：过此四点的圆的方程是（x+
    c
    2
    ）2+（y-
    b
    2
    ）2=
    1
    4
    (b2+c2)    ，
    两圆方程相减，可得两个圆的公共弦MN的方程为cx+by+c2=（a-c）2，
    又∵点B1在MN上，∴a2+b2-2ac=0，
    由b2=a2-c2，化简得2a2-2ac-c2=0，即e2+2e-2=0，
    ∴此椭圆的离心率e=
    		3
    -1（负值舍去）．
    （2）由（1）知，MN的方程为cx+by+c2=（a-c）2，由已知-
    c
    b
    =-1可得b=c，
    ∵原点到MN的距离为d=
    |c2-(a-c)2|
    		c2+b2
    =
    |2ac-a2|
    a
    =|2c-a|=
    		2
    a，
    ∴a=4，b2=c2=8，所求椭圆方程是
    x2
    16
    +
    y2
    8
    =1    ；
    （3）由（1）的计算，可得直线MN的斜率为-
    c
    b
    ．
    假设存在椭圆E，使得直线MN的斜率k在区间（-
    		2
    2
    ，-
    		3
    3
    ）内取值，
    则有-
    		2
    2
    ＜-
    c
    b
    ＜-
    		3
    3
    成立，
    ∴
    		3
    3
    ＜
    c
    b
    ＜
    		2
    2
    ，得
    1
    3
    ＜
    c2
    b2
    ＜
    1
    2
    ，即
    1
    3
    ＜
    c2
    a2-c2
    ＜
    1
    2
    ，解得3c2＜a2＜4c2，
    由此可得e2=
    c2
    a2
    ∈（
    1
    4
    ，
    1
    3
    ），所以椭圆的离心率e∈（
    1
    2
    ，
    		3
    3
    ）．
    因此，当离心率取值范围是（
    1
    2
    ，
    		3
    3
    ）时，直线MN的斜率可以在区间（-
    		2
    2
    ，-
    		3
    3
    ）内取值．
    点评：本题着重考查了直线基本量与基本形式、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，椭圆的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．同时考查了计算能力、逻辑推理能力和转化化归的数学思想，是一道不错的综合题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，已知椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0），焦点为F1、F2，双曲线G：x2-y2=m（m＞0）的顶点是该椭圆的焦点，设P是双曲线G上异于顶点的任一点，直线PF1、PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，已知三角形ABF2的周长等于8
    		2
    ，椭圆四个顶点组成的菱形的面积为8
    		2
    ．
    （1）求椭圆E与双曲线G的方程；
    （2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1和k2，探求k1和k2的关系；
    （3）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．
    精英家教网

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    3
    =1    （a＞
    		3
    ）的离心率e=
    1
    2
    ．直线x=t（t＞0）与曲线 E交于不同的两点M，N，以线段MN 为直径作圆 C，圆心为 C．
     （1）求椭圆E的方程；
     （2）若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABC的面积的最大值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•佛山二模）已知椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的一个交点为F1(-
    		3
    ，0)    ，而且过点H(
    		3
    ，
    1
    2
    )    ．
    （Ⅰ）求椭圆E的方程；
    （Ⅱ）设椭圆E的上下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆E：
    x2
    a2
    +y2=1    （a＞1）的离心率e=
    		3
    2
    ，直线x=2t（t＞0）与椭圆E交于不同的两点M、N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C
    （Ⅰ）求椭圆E的方程；
    （Ⅱ）当圆C与y轴相切的时候，求t的值；
    （Ⅲ）若O为坐标原点，求△OMN面积的最大值．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案