Question

给出下列结论：
①若命题p：?x∈R，tanx=1，命题q：?x∈R，x²-x+1＞0，则命题“p∧q“是假命题　
②a+b＞0成立的必要条件是a＞0，b＞0　
③若点O和点F分别为椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的中心和左焦点，点P为椭圆上任一点，则

OP

•

FP

的最大值为6　
④五进制的数412化为十进制的数为106　
⑤已知函数f（x）在（-∞，+∞）为增函数，a，b∈R，若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），则a+b≥0．
则其中正确结论的序号为

 

．

Answer 1

分析：①由题意知，命题p与命题q全为真命题，则命题“p∧q“是真命题；
②赋值验证；③由题意表示出向量的数量积的坐标表示，转化为二次函数在给定区间上的最值问题；
④五进制的数412化为十进制的数为：4×5²+1×5¹+2×5⁰=107；
⑤考虑其逆否命题的真假性．

解答：解：①由于命题p：?x∈R，tanx=1为真命题，
而对于命题q，由于△=（-1）²-4=-3＜0，则x²-x+1＞0恒成立，则命题q也为真命题，
所以命题“p∧q“是真命题，故①错；
②令a=3，b=-2，显然满足a+b＞0，但a＞0，b＜0，故②错；
③设P（x，y），其中-2≤x≤2，-1≤y≤1，
由题意知，O（0，0），F（-1，0），则

OP

=(x，y)，

FP

=(x+1，y)，

x2

4

+

y2

3

=1
所以

OP

•

FP

=x（x+1）+y² =

1

4

x2+x+3（-2≤x≤2），此二次函数在区间[-2，2]上为减函数，
故

OP

•

FP

的最大值为6，则③正确；
④五进制的数412化为十进制的数为：4×5²+1×5¹+2×5⁰=107，故④错；
⑤原命题的逆否命题是：已知函数f（x）在（-∞，+∞）为增函数，a，b∈R，若a+b＜0，则f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）．
以下给出证明，由于a，b∈R，且a+b＜0，则a＜-b，b＜-a，
又由函数f（x）在（-∞，+∞）为增函数，所以f（a）＜f（-b），f（b）＜f（-a），
即f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）．故⑤为真命题．
故答案为③⑤．

点评：本题考查的知识点是，判断命题真假，属于基础题．我们需对四个结论逐一进行判断，方可得到正确的结论．