Question

已知函数f（x）=log_a

x-2

x+2

；
（1）判断函数奇偶性，并说明理由；
（2）求函数f（x）的反函数f^-1（x）；
（3）若函数的定义域为[α，β]，值域为[log_aa（β-1），log_aa（α-1）]，并且f（x）在[α，β]上为减函数．求a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：计算题,转化思想,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）求出定义域，再计算f（x）+f（-x），即可判断奇偶性；
（2）由函数反解出x，再将x换为y，y换为x，即可得到反函数；
（3）运用减函数可得f（α）=log_aa（α-1），f（β）=log_aa（β-1），求出α，β＞2，且为ax²+（a-1）x+2（1-a）=0的两根，运用判别式大于0，对称轴大于2，代入x=2大于0，解不等式即可得到a的范围．

解答： 解：（1）由

x-2

x+2

＞0，解得x＞2或x＜-2．
则定义域为（-∞，-2）∪（2，+∞），关于原点对称，
又f（x）+f（-x）=log_a

x-2

x+2

+log_a

-x-2

-x+2

=log_a1=0，
所以f（x）为奇函数；
（2）由y=log_a

x-2

x+2

，即有

x-2

x+2

=a^y，
解得x=

2(1+ay)

1-ay

，
则有f-1(x)=

2(1+ax)

(1-ax)

(x≠0)；
（3）按题意，得loga

α-2

α+2

=f(x)max=logaa(α-1)，
∴

α-2 α+2 ＞0 α-1＞0

，即α＞2，
又loga

β-2

β+2

=f（x）_min=log_aa（β-1），
同样可得，β＞2．
∴关于x的方程loga

x-2

x+2

=logaa(x-1)在（2，+∞）内有二不等实根α、β．
?关于x的二次方程ax²+（a-1）x+2（1-a）=0在（2，+∞）内有二异根α、β，
则有

a＞0且a≠1 △=(a-1)2+8a(a-1)＞0 - a-1 2a ＞2 4a+2(a-1)+2(1-a)＞0

即有

a＞0且a≠1 a＞1或a＜ 1 9 0＜a＜ 1 5 a＞0

，
故0＜a＜

1

9

．

点评：本题考查函数的奇偶性的判断，考查反函数的求法，考查函数的单调性的运用，考查二次方程实根的分布，考查运算能力，属于中档题和易错题．