Question

【题目】已知数列{an}满足a1=4，an+1=3an﹣2（n∈N+）
（1）求证：数列{an﹣1}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式；
（2）令bn=log3（a1﹣1）+log3（a2﹣1）+…+log3（an﹣1），求数列{ }的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵an+1=3an﹣2（n∈N+），

∴an+1﹣1=3（an﹣1），

∴数列{an﹣1}为等比数列，a1﹣1=3．

∴an﹣1=3n，

∴ ．

（2）解：由（1）可得log3（an﹣1）=n．

∴bn=log3（a1﹣1）+log3（a2﹣1）+…+log3（an﹣1）=1+2+…+n= ．

∴ = =2 ．

∴数列{ }的前n项和Tn= +…+

=

= ．

【解析】（1）由an+1=3an﹣2（n∈N+），变形为an+1﹣1=3（an﹣1），即可证明．（2）由（1）可得log3（an﹣1）=n．可得bn=1+2+…+n= ．可得 = =2 ．利用“裂项求和”即可得出．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等比数列的通项公式（及其变式）的相关知识，掌握通项公式：，以及对数列的前n项和的理解，了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．