Question

已知定义在R上的函数f（x）=ax³-2bx²+cx+4d（a，b，c，d∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值-

2

5

．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使得此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；
（Ⅲ）若x₁，x₂∈[-1，1]时，求证：|f （x₁）-f （x₂）|≤

4

5

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值-

2

5

，建立方程，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求导数，利用导数的几何意义进行判断；
（Ⅲ）利用导数的应用求函数在[-1，1]上的最大值和最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）的图象关于原点对称，
∴f（0）=0，即4d=0，∴d=0
又f（-1）=-f（1），
即-a-2b-c=-a+2b-c，
∴b=0
∴f（x）=ax³+cx，f′（x）=3ax²+c．
∵x=1时，f（x）取极小值-

2

5

，
∴3a+c=0且 a+c=-

2

5

．
解得a=

1

5

，c=-

3

5

．
∴f（x）=

1

5

x3-

3

5

x…4
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上不存在这样的两点使得结论成立．
假设图象上存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得过此两点处的切线互相垂直，
则由f′（x）=

3

5

（x²-1）知两点处的切线斜率分别为k₁=

3

5

(

x

2 1

-1)，k₂=

3

5

(

x

2 2

-1)，且

9

25

(

x

2 1

-1)(

x

2 2

-1)=1             （*）
∵x₁，x₂∈[-1，1]，
∴

x

2 1

-1≤0，

x

2 2

-1≤0
∴（

x

2 1

-1）（

x

2 2

-1）≥0 此与（*）矛盾，故假设不成立  …（8分）（文12分）
（Ⅲ）证明：f′（x）=

3

5

（x²-1），令f′（x）=0，得x=±1
∴x∈（-∞，-1）或x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（-1，1）时，f′（x）＜0
∴f（x）在[-1，1]上是减函数，且f_max（x）=f（-1）=

2

5

，f_min（x）=f（1）=-

2

5

．
∴在[-1，1]上|f（x）|≤

2

5

，于是x₁，x₂∈[-1，1]时，
|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x₁）|+|f（x₂）|≤

2

5

+

2

5

=

4

5

…（12分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值和最值，要求熟练掌握导数的应用．运算量较大，综合性较强．