Question

一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单
（1）前4个节目中要有舞蹈，有多少种排法？
（2）3个舞蹈节目要排在一起，有多少种排法？
（3）3个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种排法？

Answer 1

解（1）∵8个节目全排列有A₈⁸=40320种方法，
若前4个节目中要有舞蹈的否定是前四个节目全是唱歌有A₅⁴A₄⁴，
∴前4个节目中要有舞蹈有A₈⁸-A₅⁴A₄⁴=37440
（2）∵3个舞蹈节目要排在一起，
∴可以把三个舞蹈节目看做一个元素和另外5个元素进行全排列，
三个舞蹈节目本身也有一个排列有A₆⁶A₃³=4320，
（3）3个舞蹈节目彼此要隔开，
可以用插空法来解，
先把5个唱歌节目排列，形成6个位置，选三个把舞蹈节目排列，
有A₅⁵A₆³=14400．
分析：（1）先不考虑限制条件，8个节目全排列有A₈⁸种方法，前4个节目中要有舞蹈的否定是前四个节目全是唱歌有A₅⁴A₄⁴，用所有的排列减去不符合条件的排列，得到结果．
（2）要把3个舞蹈节目要排在一起，则可以采用捆绑法，把三个舞蹈节目看做一个元素和另外5个元素进行全排列，不要忽略三个舞蹈节目本身也有一个排列．
（3）3个舞蹈节目彼此要隔开，可以用插空法来解，即先把5个唱歌节目排列，形成6个位置，选三个把舞蹈节目排列．
点评：本题是一个排列组合典型，文科在高考时能考到，理科近几年单独考查排列组合的题目都是以选择和填空出现，实际上所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补充一个阶段（排序）可转化为排列问题．