Question

已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大．现有以下两种设计，其纵断面如图所示，图甲的过水断面为等腰△ABC，AB=BC，过水湿周l₁=AB+BC；图乙的过水断面为等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD，∠BAD=60°，过水湿周l₂=AB+BC+CD．若△ABC和等腰梯形ABCD的面积都是S，
（1）分别求l₁和l₂的最小值；（2）为使流量最大，给出最佳设计方案．

Answer 1

分析：（1）图甲的过水断面为等腰△ABC，AB=BC，设角ABC，表示出l1和s，图乙的过水断面为等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD，
∠BAD=60°，过水湿周l₂=AB+BC+CD，表示出l₂和s，根据l_1、l₂的表达式求最值；
（2）根据水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大，由（1）比较l_1、l₂的最小值的大小，小的其流量大．

解答：解：（1）在图甲中，设∠ABC=θ，AB=BC=a，
则S=

1

2

a2sinθ，l₁=2a=2

2S sinθ

≥2

2S

，当且仅当θ=90°时，l₁=2

2S

，
故l₁的最小值为2

2S

．
在图乙中，设AB=CD=m，BC=n，又由∠BAD=60°，可得AD=m+n，S=

1

2

（m+n+n）×

3

2

m，
故n=

2S

3 m

-

m

2

．
∴l2=2m+n=2m+

2S

3 m

-

m

2

=

3m

2

+

2S

3 m

≥2

3 S

，当且仅当

3m

2

=

2S

3 m

，
即m=

4S 3 3

时，l₂=2

3 S

．
故l₂的最小值为2

4	3

S

．
（2）由于2＞

3

，故2

2S

＞2

3 S

，故l₂的最小值小于l₁的最小值．
所以在方案乙中当l₂最小，即m=n=(

2

3

[

4]3)

S

时为最佳设计方案．

点评：考查根据实际问题抽象函数模型的能力，并能根据模型的解决，指导实际生活中的决策问题，在解模的过程中应用了基本不等式求最值，和借助于三角函数的有界性放缩不等式，属中档题．