Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x²+2x．
（1）现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，请补完整函数f（x）的图象，并根据图象写出函数f（x）的增区间；
（2）写出函数f（x）的解析式和值域；
（3）若函数f（x）在区间[a，b]（a＜b）上的值域是[-1，3]，则b-a的取值范围是________．

Answer 1

解：（1）如图，根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出f（x）的图象，（2分），则f（x）的单调递增区间为（-1，0），（1，+∞）；（5分）
（2）令x＞0，则-x＜0，∴f（-x）=x²-2x
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（x）=f（-x）=x²-2x
∴解析式为（8分）
值域为{y|y≥-1}．（10分）
（3）当x≤0时，令f（x）=x²+2x=3，则x=-3
∵函数f（x）在区间[a，b]（a＜b）上的值域是[-1，3]，
∴b-a的最小值为-1+3=2，最大值为3+3=6
∴b-a的取值范围是[2，6]（14分）
分析：（1）根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出f（x）的图象，由图象可得f（x）的单调递增区间；
（2）令x＞0，则-x＜0，根据条件可得f（-x）=x²-2x，利用函数f（x）是定义在R上的偶函数，可得f（x）=f（-x）=x²-2x，从而可得函数f（x）的解析式和值域；
（3）函数f（x）在区间[a，b]（a＜b）上的值域是[-1，3]，确定b-a的最小值与最大值，从而可得b-a的取值范围．
点评：本题考查函数图象的作法，考查函数解析式的确定与函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．