Question

20．直线l与椭圆4x²+y²=4交于P，Q两点，若OP⊥OQ，则l在两坐标轴上的截距乘积最小值为（　　）

• A． $\frac{5}{6}$
• B． $\frac{8}{5}$
• C． 2
• D． $\frac{12}{5}$

Answer 1

分析 设出直线方程y=kx+n，和椭圆方程联立后得到关于x的一元二次方程，由判别式大于0得到关于k和n的不等式，
由根与系数关系得到x₁+x₂=-$\frac{2kn}{{k}^{2}+4}$，x₁x₂=$\frac{{n}^{2}-4}{{k}^{2}+4}$．代入x₁x₂+y₁y₂=0得到k与n的等式，即可求出l在两坐标轴上的截距乘积最小值．

解答 解：设直线l的方程为y=kx+n，与椭圆方程联立，得（k²+4）x²+2knx+n²-4=0．
则△=4k²n²-4（n²-4）（k²+4）＞0，即k²-n²+4＞0①
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{2kn}{{k}^{2}+4}$，x₁x₂=$\frac{{n}^{2}-4}{{k}^{2}+4}$．
由OP⊥OQ，可得x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+n）（kx₂+n）=0．
整理可得（k²+1）x₁x₂+kn（x₁+x₂）+n²=0．
化简可得5n²=4k²+4，代入①整理可得k²+16＞0，
l在两坐标轴上的截距乘积n•（-$\frac{n}{k}$）=-$\frac{{n}^{2}}{k}$=-$\frac{4}{5}$（k+$\frac{1}{k}$）
所以k=-1，l在两坐标轴上的截距乘积最小值为$\frac{8}{5}$．
故选：B．

点评 本题考查了椭圆的标准方程，考查了平面向量的数量积的运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了一元二次方程中根与系数关系的运用，是中档题．