Question

【题目】如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池ABCD及其矩形附属设施EFGH，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为O，半径为R，矩形的一边AB在直径上，点C，D，G，H在圆周上，E，F在边CD上，且 ，设∠BOC=θ．

（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为f（θ），求f（θ）的表达式；
（2）怎样设计才能符合园林局的要求？

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，AB=2Rcosθ，BC=Rsinθ，且△HOG 为等边三角形，

所以，HG=R，GF= R﹣Rsinθ，

f（θ）=SABCD+SEFGH=2RcosθRsinθ+R（ R﹣Rsinθ），θ∈（0， ）

（2）解：要符合园林局的要求，只要f（θ）最小，

由（1）知，f′（θ）=R2（2cos2θ﹣2sin2θ﹣cosθ）=R2（4cos2θ﹣cosθ﹣2），

令f′（θ）=0，即4cos2θ﹣cosθ﹣2=0，

解得cosθ= 或 （舍去），

令cosθ0= ，θ0∈（0， ），

当θ∈（0，θ0）时，f′（θ）＜0，f（θ）是单调减函数，

当θ∈（θ0， ）时，f′（θ）＞0，f（θ）是单调增函数，

所以当θ=θ0时，f（θ）取得最小值．

答：当θ满足cosθ= 时，符合园林局要求

【解析】（1）根据题意可得各个边与θ的关系，故f（θ）可分为两个矩形的面积之和，代入数值求得。（2）利用求导求出结果，验证当θ=θ0时，f（θ）取得最小值。