Question

设函数f（x）=2^x-1的反函数为f^-1（x），g（x）=log₄（3x+1）．
（1）若f^-1（x）≤g（x），求x的取值范围D；
（2）设H(x)=g(x)-

1

2

f-1(x)，当x∈D（D为（1）中所求）时函数H（x）的图象与直线y=a有公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先根据反函数的概念求出：f^-1（x）=log₂（x+1）再由log₂（x+1）≤log₄（3x+1），利用对数函数的单调性转化为关于x的一元不等式组，解之即可．   
（2）先化简得到：H(x)=

1

2

log2(3-

2

x+1

)再利用当x∈[0，1]时，3-

2

x+1

单调递增，从而求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）f^-1（x）=log₂（x+1），…（3分）       
由log₂（x+1）≤log₄（3x+1），∴

x+1＞0 3x+1＞0 (x+1)2≤3x+1

…．（6分）    
解得0≤x≤1，∴D=[0，1]---．（8分）
（2）H(x)=log4(3x+1)-

1

2

log2(x+1)=

1

2

log2

3x+1

x+1

(0≤x≤1)，…..（10分）
∴H(x)=

1

2

log2(3-

2

x+1

)，…（12分）
当x∈[0，1]时，3-

2

x+1

单调递增，
∴H（x）单调递增，…．（14分）
∴H(x)∈[0，

1

2

]因此当a∈[0，

1

2

]时满足条件．  …（16分）

点评：本小题主要考查反函数、函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．