Question

如图,在四棱锥PABCD中,底面是边长为2的菱形,∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD,PA=2,M、N分别为PB、PD的中点.

(1)证明:MN∥平面ABCD;
(2)过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角AMNQ的平面角的余弦值.

Answer 1

（1）见解析  （2）

(1)证明:连接BD,因为M、N分别是PB、PD的中点,所以MN是△PBD的中位线,所以MN∥BD.
又因为MN?平面ABCD,BD?平面ABCD,
所以MN∥平面ABCD.
(2)解: 如图所示,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,

得AC=AB=BC=CD=DA,
BD=AB.
又因为PA⊥平面ABCD,
所以PA⊥AB,PA⊥AC,
PA⊥AD.
所以PB=PC=PD.
所以△PBC≌△PDC.
而M、N分别是PB、PD的中点,
所以MQ=NQ,
且AM=PB=PD=AN.
取线段MN的中点E,连接AE,EQ,
则AE⊥MN,QE⊥MN,
所以∠AEQ为二面角AMNQ的平面角.
由AB=2,PA=2,故在△AMN中,AM=AN=3,MN=BD=3,得AE=.
在直角△PAC中,AQ⊥PC,得AQ=2,QC=2,PQ=4,
在△PBC中,cos∠BPC==,
得MQ==.
在等腰△MQN中,MQ=NQ=,MN=3,
得QE==.
在△AEQ中,AE=,QE=,AQ=2,
得cos∠AEQ==.
所以二面角AMNQ的平面角的余弦值为.