Question

函数f（x）=6cos²

ωx

2

+

3

ωx

2

+

3

sinωx-3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间和对称中心．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得解析式f（x）=2

3

sin（ωx+

π

3

），再求BC=4．可得周期为8，即可求ω=

π

4

，从而可求函数f（x）的解析式；
（2）由2kπ-

π

2

≤

π

4

x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得f（x）的单调递增区间，由

π

4

x+

π

3

=kπ，k∈Z，得对称中心．

解答： 解：（1）f（x）=3cosωx+

3

sinωx----------------------------------------------（2分）
f（x）=2

3

sin（ωx+

π

3

）------------------------------------------------------（3分）
又△ABC为正三角形，且高为2

3

，则BC=4．所以函数F（X）的最小正周期为8，即

2π

ω

=8，ω=

π

4

--------------（5分）
f（x）=2

3

sin（

π

4

x+

π

3

）．------------------------------------------------------（6分）
（2）由2kπ-

π

2

≤

π

4

x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得8k-

10

3

≤x≤8k+

2

3

，k∈Z．…（8分）
所以f（x）的单调递增区间为[8k-

10

3

，8k+

2

3

]，k∈Z---------------------（9分）
由  

π

4

x+

π

3

=kπ，k∈Z，得x=4k-

4

3

，k∈Z--------------------（11分）
所以对称中心为（4k-

4

3

，0）k∈Z---------------------------------------（12分）

点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．