Question

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的极坐标方程为ρsin(

π

6

-θ)=m（m为常数），圆C的参数方程为

x=-1+2cosα y= 3 +2sinα

（α为参数）．
（Ⅰ）求直线的直角坐标方程和圆C的普通方程；
（Ⅱ）若圆心C关于直线的对称点亦在圆上，求实数m的值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程,圆的参数方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）由ρsin(

π

6

-θ)=m，展开可得ρsin

π

6

cosθ-ρcos

π

6

sinθ=m，利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

j即可得出；由圆C的参数方程

x=-1+2cosα y= 3 +2sinα

（α为参数），利用cos²α+sin²α=1即可得出．
（Ⅱ）圆C的圆心C的坐标C(-1，

3

)，由于圆心C关于直线的对称点亦在圆上，可得圆心C到直线的距离为1，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）由ρsin(

π

6

-θ)=m，展开可得ρsin

π

6

cosθ-ρcos

π

6

sinθ=m，
所以直线的直角坐标方程为x-

3

y-2m=0
由圆C的参数方程

x=-1+2cosα y= 3 +2sinα

（α为参数）．
利用cos²α+sin²α=1可得：
圆C的普通方程为(x+1)2+(y-

3

)2=4．
（Ⅱ）圆C的圆心C的坐标C(-1，

3

)，
∵圆心C关于直线的对称点亦在圆上，
∴圆心C到直线的距离为1，
∴

|-1- 3 • 3 -2m|

2

=1，
解得m=-1或m=-3．

点评：本题考查了曲线的极坐标方程参数方程化为直角坐标方程及其普通方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．