Question

（2010•重庆三模）已知f（x）是个一元三次函数，且满足

lim

x→1

f(x)

x-1

=4，

lim

x→2

f(x)

x-2

=-2，若函数F（x）=

f(x) x-3 (x≠3) a       (x=3)

在R上处处连续，则实数a的值为

4

．

Answer 1

分析：设f（x）=mx³+nx²+px+q，由

lim

x→1

f(x)

x-1

=4，知m+n+p+q=0，m+（n+m）+（p+m+n）=4，由

lim

x→2

f(x)

x-2

=-2，知8m+4n+2p+q=0，4m+2（n+2m）+（p+2n+4m）=-2，由此求得f（x）=2x³-12x²+22x-12．再由

lim

x→3

2x3-12x2+22x-12

x-3

=

lim

x→3

(2x2-6x+4)=4，知F（3）=a=4．

解答：解：∵f（x）是个一元三次函数，
∴设f（x）=mx³+nx²+px+q，
∵

lim

x→1

f(x)

x-1

=4，
∴m+n+p+q=0，
且f（x）=（x-1）[mx²+（n+m）x+（p+m+n）]，
∴m+（n+m）+（p+m+n）=4，
p+m+n=-q．
∵

lim

x→2

f(x)

x-2

=-2，
∴8m+4n+2p+q=0，
且f（x）=（x-2）[mx²+（n+2m）x+（p+2n+4m）]
∴4m+2（n+2m）+（p+2n+4m）=-2，
-2（p+2n+4m）=q．
∴m=2，n=-12，p=22，q=-12．
∴f（x）=2x³-12x²+22x-12，
∵

lim

x→3

2x3-12x2+22x-12

x-3

=

lim

x→3

(2x2-6x+4)
=4
∴若函数F（x）=

f(x) x-3 (x≠3) a       (x=3)

在R上处处连续，
则F（3）=a=4．
故答案为：4．

点评：本题考查极限的运算和应用，解题时要理解极限的概念，注意函数F（x）=

f(x) x-3 (x≠3) a       (x=3)

在R上处处连续的成立条件．