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【题目】已知函数f(x)= +a是奇函数
(1)求常数a的值
(2)判断f(x)的单调性并给出证明
(3)求函数f(x)的值域.

【答案】
(1)解:函数f(x)= +a是奇函数,可得f(x)+f(﹣x)=0

+a+ +a=0,解得a=


(2)解:由(1)得f(x)= + 在(﹣∞,0)与(0,+∞)上都是减函数,证明如下

任取x1<x2

f(x1)﹣f(x2)= =

当x1,x2∈(0,+∞)时,2x1﹣1>0,2x2﹣1>0,2x2﹣2x1>0,

所以 ,>0,有f(x1)﹣f(x2)>0;

当x1,x2∈(﹣∞,0)时,2x1﹣1<0,2x2﹣1<0,2x2﹣2x1>0,

所以 >0,有f(x1)﹣f(x2)>0,

综上知,函数f(x)在(﹣∞,0)与(0,+∞)上都是减函数


(3)解:2x→0时,f(x)→﹣ ,2x小于1趋向于1时,f(x)→﹣∞,

2x→+∞时,f(x)→ ,2x大于1趋向于1时,f(x)→+∞,

∴函数f(x)的值域是(﹣∞,﹣ )∪( ,+∞).


【解析】(1)由奇函数的定义f(x)+f(﹣x)=0,可解得a=,(2) 由于f(x)的单调性的定义,进行设值作差可得出f(x)在定义域上单调递减,(3)根据f(x)的解析式,取其极限不难讨论出f(x)的值域.
【考点精析】关于本题考查的函数单调性的判断方法和函数奇偶性的性质,需要了解单调性的判定法:①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较;在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数;奇函数的加减仍为奇函数;奇数个奇函数的乘除认为奇函数;偶数个奇函数的乘除为偶函数;一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性:一个为偶就为偶,两个为奇才为奇才能得出正确答案.

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