Question

如图在三角形ABC中，E为斜边AB的中点，CD⊥AB，AB=1，则(

CA

•

CD

)(

CA

•

CE

)的最大值是

2

27

．

Answer 1

分析：设CA=x，CB=y，则x²+y²=1，求出CD，然后根据数量积公式求出(

CA

•

CD

)(

CA

•

CE

)，然后利用基本不等式进行求解，即可求出最大值．

解答：解：设CA=x，CB=y，则x²+y²=1
CD=

xy

1

=xy
∴

CA

•

CD

= |

CA

||

CD

| cosθ=x2•y• y=x2y2

CA

•

CE

=

CA

•

1

2

(

CA

+

CB

) =

1

2

x2
∴(

CA

•

CD

)(

CA

•

CE

)=

1

2

x⁴•y²=

1

2

x⁴（1-x²）=2•

x2

2

•

x2

2

（1-x²）≤2(

x2+x2+1-x2

3

)3=

2

27

．
故答案为：

2

27

点评：本题主要考查了向量的数量积，以及基本不等式求最值，有一定的难度，属于中档题．