Question

有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数.

Answer 1

解法一:设所求的四个数为a、b、c、d,依题意有

由④得c=12－b.⑤

①－④得a=3b－12.⑥

将⑥代入③得d=28－3b.⑦

将⑤⑦代入②得b(28－3b)=(12－b)².

整理得b²－13b+36=0.解得b₁=4,b₂=9.

将b代入⑤⑥⑦得四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.

解法二:设四个数为a－d,a,a+d,,依题意有

解方程得或

故此四数为0，4，8，16或15，9，3，1.

解法三:设这四个数为2a－aq,a,aq,aq²,依题意有

两式相除得=.

解得q=2或q=.∴a=4或9.

故这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.

解法四:设这四个数为x,y,12－y,16－x，依题意得

由①得x=3y－12,代入②得y(28－3y)=(12－y)².

整理得y²－13y+36=0.

解得y₁=4,y₂=9.

∴x₁=0,x₂=15.

代入题设得四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.

解法五:设第二、三两数分别为6－d、6+d,

则第一个数为6－3d,第四个数为10+3d.

依题意有(6+d)²=(6－d)(10+3d),

整理得d²+d－6=0.解得d₁=2,d₂=－3.

代入题设得所求四数为0，4，8，16或15，9，3，1.

点评:当已知三个数成等差数列且和一定时，常设三数为a－d,a,a+d；若四个数成等差数列且和一定时，则常设四数为a－3d,a－d,a+d,a+3d，以减少运算量.当已知三数成等比数列且积一定时，常设此三数为,a,aq；若四个数成等比数列且积一定，在符号相同时，可设此四数为,,aq,aq³.