Question

【题目】已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，且的周长为8.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆分别交于，两点，且，试问点到直线的距离是否为定值，证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）（2）是，证明见解析

【解析】

（1）由题意可知：，，即可求得和的值，求得椭圆方程；

（2）分类讨论，当直线斜率存在时，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得和的关系，利用点到直线的距离公式，即可求得点到直线的距离是否为定值．

（1）由题意知，，，

由椭圆离心率，则.

椭圆的方程；

（2）由题意，当直线的斜率不存在，

因为，此时可设，.

又在，两点在椭圆上，

，，

点到直线的距离，

当直线的斜率存在时，设直线的方程为.

设，联立方程组，

消去得：.

由已知，，，

由，则，

即，

整理得:，

，

，满足，

点到直线的距离为定值.

综上可知：点到直线的距离为定值.