Question

有如下四个命题：①命题“有的三角形是直角三角形”的否定为“所有的三角形都不是直角三角形”；②不等式|x-2010|+|x-2011|＜a在R上有解，则实数a的取值范围是（1，+∞）；③已知函数f（x）=sin（2x+θ）（θ∈R），且对?x∈R，f(

π

2

-x)=-f(x)，则cos（2θ）=-1；④若偶函数f（x）=log_a|x+b|（a＞0，a≠1）在（-∞，0）内单调递增，则f（a+1）＜f（b+2）其中真命题的序号为

 

．

Answer 1

分析：利用特称命题的否定方法，绝对值不等式，三角函数的恒等变形，及对数函数的单调性与特殊点，我们逐一分析已知中的四个结论，即可得到答案．

解答：解：命题“有的三角形是直角三角形”的否定为“所有的三角形都不是直角三角形”，故①正确；
若关于x的不等式|x-2010|+|x-2011|＜a在R上有解，a即a大于|x-2010|+|x-2011|的最小值即可，∵|x-2010|+|x-2011|≥1即a＞1，故②正确；
函数f（x）=sin（2x+θ）（θ∈R），则 f(

π

2

-x)=sin（π-2x+θ）=sin（2x-θ）=-f（x）=-sin（2x+θ），则cosθsin（2x）=0，即cosθ=0，∴cos2θ=2cos²θ-1=-1，故③正确；
若偶函数f（x）=log_a|x+b|（a＞0，a≠1），则b=0，在（-∞，0）内单调递增，则0＜a＜1，由对称性知，在（0，+∞）内单调递减，则f（a+1）＜f（b+2）错误．
故答案为：①②③

点评：本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，命题的否定，绝对值不等式，其中熟练掌握处理这些问题的方法和步骤是解答本题的关键．