Question

【题目】已知椭圆的左焦点为，离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设为坐标原点，为直线上一点，过作的垂线交椭圆于、．当四边形是平行四边形时，求四边形的面积．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由焦点坐标和离心率及、、之间的关系求出、的值，进而可得椭圆的标准方程；

（2）由题意设的坐标为，由（1）得左焦点的坐标，可得直线的斜率，由题意可得的方程，将直线与椭圆的方程联立求出两根之和，运用韦达定理求得，再由四边形是平行四边形，可得，由此求出的值，从而可得的长，进而求出四边形的面积．

（1）由已知得：，，所以，又，解得，

所以椭圆的标准方程为：；

（2）设点的坐标为，则直线的斜率，

当时，直线的斜率，直线的方程是；

当时，直线的方程也符合的形式．

由，得（*），其判别式，

设、，则，，

因为四边形是平行四边形，所以，即，

所以，解得，

此时，方程（*）为，得，则.

此时的面积．