Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=-f（x）；又当0≤x≤1时，f(x)=

1

2

x，则方程f(x)=-

1

2

的解集为

 

．

Answer 1

分析：先根据f（x）是奇函数且f（x+2）=-f（x）求出函数的周期性，以及-1≤x≤0时的解析式，然后求出在[-1，1]上满足方程f(x)=-

1

2

的解，最后根据周期性即可求出所求．

解答：解：∵f（x）是奇函数且f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x）则T=4
∵当0≤x≤1时，f(x)=

1

2

x，f（x）是奇函数
∴当-1≤x≤0时，f(x)=

1

2

x，
令

1

2

x=-

1

2

解得：x=-1
而函数f（x）是以4为周期的周期函数
∴方程f(x)=-

1

2

的解集为{x|x=4k-1，k∈Z}
故答案为：{x|x=4k-1，k∈Z}

点评：本题主要考查函数的奇偶性和递推关系，这类题往往是奇偶性和周期性结合来转化求值区间，属于基础题．