Question

10．已知函数f（x）=$\frac{{a}^{x}}{{a}^{x}+1}$（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x）在[-1，2]上的最大值为$\frac{3}{4}$，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f（x）=$\frac{{a}^{x}}{{a}^{x}+1}$=1-$\frac{1}{{a}^{x}+1}$，即可求f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x）在[-1，2]上的最大值为$\frac{3}{4}$，分类讨论求a的值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{{a}^{x}}{{a}^{x}+1}$=1-$\frac{1}{{a}^{x}+1}$，
∵a^x＞0，
∴0＜$\frac{1}{{a}^{x}+1}$＜1，
∴0＜f（x）＜1，
∴f（x）的值域为（0，1）；
（Ⅱ）a＞1，f（x）在[-1，2]上单调递增，
∵f（x）在[-1，2]上的最大值为$\frac{3}{4}$，
∴f（2）=$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}+1}$=$\frac{3}{4}$，
∴a=$\sqrt{3}$；
0＜a＜1，f（x）在[-1，2]上单调递减，
∵f（x）在[-1，2]上的最大值为$\frac{3}{4}$，
∴f（-1）=$\frac{\frac{1}{a}}{\frac{1}{a}+1}$=$\frac{3}{4}$，
∴a=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查函数的值域，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．