Question

（2009•烟台二模）设非负实数x、y满足不等式组

2x+y-4≤0 x+y-3≤0

（1）如图在所给的坐标系中，画出不等式组所表示的平面区域；
（2）求k=x+3y的取值范围；
（3）在不等式组所表示的平面区域内，求点（x，y）落在x∈[1，2]区域内的概率．

Answer 1

分析：（1）先根据约束条件非负实数x、y满足不等式组

2x+y-4≤0 x+y-3≤0

画出可行域；
（2）再利用几何意义求最值，只需求出直线k=x+3y过点A点或B点时，z取得最值即可；
（3）根据不等式组画出平面区域，求出区域的面积，以及落在x∈[1，2]区域内的面积，最后利用几何概型的概率公式解之即可．

解答：解：（1）不等式组

2x+y-4≤0 x+y-3≤0 x≥0 y≥0

所表示的平面区域，如下图示：
（2）当直线k=x+3y过点（0，0）时，k最小值为0．
当直线k=x+3y过点A（0，3）时，k最大值为9．
故k=x+3y的取值范围为：[0，9]．
（3）面积S=

1

2

×（3+2）×1+

1

2

×2×1=

7

2

其中落在x∈[1，2]区域内的面积为1
故点（x，y）落在x∈[1，2]区域内的概率P=

1

7 2

=

2

7

．

点评：本题考查画可行域及由可行域求目标函数最值问题，考查了二元一次不等式（组）与平面区域，以及几何概型的概率，同时考查了画图能力，属于中档题．