Question

如图，设抛物线C₁：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，焦点为F₂；以F₁、F₂为焦点，离心率e=

1

2

的椭圆C₂与抛物线C₁在x轴上方的一个交点为P．
（1）当m=1时，求椭圆的方程及其右准线的方程；
（2）是否存在实数m，使得△PF₁F₂的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）的条件下，直线l经过椭圆C₂的右焦点F₂，与抛物线C₁交于A₁、A₂，如果以线段A₁A₂为直径作圆，试判断点P与圆的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）m=1时，求出焦点坐标以及a，b 的值，写出椭圆方程．
（2）假设存在实数m，在△PF₁F₂中，|PF₁|最长，|PF₂|最短，令|F₁F₂|=2c=2m，则|PF₁|=2m+1，|PF₂|=2m-1，把P（m-1，4m（m-1））代入椭圆方程求出m值．
（3）依题意设直线l的方程为：x=ky+1，k∈R，联立{y2=4xx24+y23=1得点P的坐标为P（23，263）．再由韦达定理可知点P可在圆内，圆上或圆外．

解答：解：（1）m=1时，抛物线C₁：y²=4x，焦点为F₂ （1，0）． 由于椭圆离心率e=

1

2

，c=1，
故 a=2，b=

3

，故所求的椭圆方程为  

x2

4

+

y2

3

=1．右准线方程为：x=4．
（2）∵C₁：y²=4mx（m＞0）的右焦点F₂（m，0）
∴椭圆的半焦距c=m，又e=

1

2

，
∴椭圆的长半轴的长a=2m，短半轴的长b=

3

m．
∴椭圆方程为

x2

4m2

+

y2

3m2

=1．
假设存在实数m，△PF₁F₂中的边长是连续自然数，则在△PF₁F₂中，|PF₁|最长，|PF₂|最短，
令|F₁F₂|=2c=2m，则|PF₁|=2m+1，|PF₂|=2m-1．
由抛物线的定义可得|PF₂|=2m-1=x_P-（-m），∴x_P=m-1．
把P（m-1，4m（m-1））代入椭圆

x2

4m2

+

y2

3m2

=1，解得m=3．
故存在实数m=3 满足条件．
（3）依题意设直线l的方程为：x=ky+1，k∈R
联立

y2=4x x2 4 + y2 3 =1

得点P的坐标为P(

2

3

，

2 6

3

)．
将x=ky+1代入y²=4x得y²-4ky-4=0．
设A₁（x₁，y₁）、A₂（x₂，y₂），由韦达定理得y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4．
又

PA1

=(x1-

2

3

，y1-

2 6

3

)，

PA2

=(x2-

2

3

，y2-

2 6

3

)．

PA1

 •

PA2

=x1x2-

2

3

(x1+x2) +

4

9

+y1y2-

2 6

3

(y1+y2)  +

24

9

=-

24k2+24 6 k+11

9

=-

24(k+ 6 2 )2-25

9

．
∵k∈R，于是

PA1

•

PA2

的值可能小于零，等于零，大于零．
即点P可在圆内，圆上或圆外．

点评：本题考查抛物线和椭圆的标准方程和简单性质，考查直线与椭圆的位置关系，同时考查向量知识的运用，综合性较强，属于中档题．