Question

（2012•天津）已知抛物线的参数方程为

x=2pt2 y=2pt

（t为参数），其中p＞0，焦点为F，准线为l．过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E．若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p=

2

．

Answer 1

分析：把抛物线的参数方程化为普通方程为y²=2px，则由抛物线的定义可得及|EF|=|MF|，可得△MEF为等边三角形，设点M的坐标为（3，m ），则点E（-

p

2

，m），把点M的坐标代入抛物线的方程可得 p=

m2

6

．再由|EF|=|ME|，解方程可得p的值．

解答：解：抛物线的参数方程为

x=2pt2 y=2pt

（t为参数），其中p＞0，焦点为F，准线为l，消去参数可得x=2p(

y

2p

)2，
化简可得y²=2px，表示顶点在原点、开口向右、对称轴是x轴的抛物线，
故焦点F（

p

2

，0），准线l的方程为x=-

p

2

．
则由抛物线的定义可得|ME|=|MF|，再由|EF|=|MF|，可得△MEF为等边三角形．
设点M的坐标为（3，m ），则点E（-

p

2

，m）．
把点M的坐标代入抛物线的方程可得m²=2×p×3，即 p=

m2

6

．
再由|EF|=|ME|，可得 p²+m²=(3+

p

2

)2，即 p²+6p=9+

p2

4

+3p，解得p=2，或p=-6 （舍去），
故答案为 2．

点评：本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，把参数方程化为普通方程的方法，属于中档题．