Question

20．x，y∈R，A={（x，y）|x²+y²=1}，B={（x，y）|$\frac{x}{a}$-$\frac{y}{b}$=1，a＞0，b＞0}，当A∩B只有1个元素时，a，b满足的关系式为（　　）

• A． $\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=1
• B． a²+b²=1
• C． $\frac{1}{a^2}$+$\frac{1}{b^2}$=1
• D． a+b=ab

Answer 1

分析 集合A表示圆心（0，0），半径为1的圆上的点集，集合B表示直线bx-ay-ab=0，两集合交集只有1个元素，即为直线与圆相切，求出a与b满足的关系式即可．

解答 解：∵A={（x，y）|x²+y²=1}，B={（x，y）|$\frac{x}{a}$-$\frac{y}{b}$=1，a＞0，b＞0}，且A∩B只有1个元素，
∴圆x²+y²=1与直线$\frac{x}{a}$-$\frac{y}{b}$=1，即bx-ay-ab=0相切，
即圆心（0，0）到直线的距离d=r=1，即$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=1，
整理得：a²+b²=a²b²，即$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，
故选：C．

点评 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．