Question

已知圆，直线l与圆C₁相切于点A（1，1）；圆C₂的圆心在直线x+y=0上，且圆C₂过坐标原点．
（1）求直线l的方程；
（2）若圆C₂被直线l截得的弦长为8，求圆C₂的方程．

Answer 1

解：（1）∵圆，直线l与圆C₁相切于点A（1，1），
∴直线l与直线AC₁垂直，…（1分）
而圆的圆心C₁（0，0），则直线AC₁的斜率为k=1，…（2分）
∴直线l的斜率为-1，…（3分）
则直线l的方程为y-1=-（x-1），…（5分）
即x+y-2=0…（6分）
（2）设圆C₂的圆心C₂（a，-a），半径为r，则圆C₂的方程为（x-a）²+（y+a）²=r²，…（7分）
∵圆C₂过原点，
∴2a²=r²，…（8分）
∴圆C₂的方程为（x-a）²+（y+a）²=2a²．…（9分）
而圆C₂被直线l截得的弦长为8．
∴圆心C₂（a，-a）到直线l：x+y-2=0的距离：，…（10分）
得到r²=18，a=3或a=-3…（12分）
∴圆C₂的方程为：（x-3）²+（y+3）²=18或（x+3）²+（y-3）²=18…（14分）
分析：（1）利用圆，直线l与圆C₁相切于点A（1，1），可求线l的斜率为-1，从而可求直线l的方程；
（2）先假设圆的方程，求点到直线的距离，再利用勾股定理求弦长，从而可求圆C₂的方程．
点评：本题考查的重点是直线与圆的方程，解题的关键是利用直线与圆相切求斜率，利用待定系数法求圆的方程．