Question

已知在等比数列{a_n}中，首项a₁=2012，公比q=-

1

2

，记T_n为它的前n项之积，则T_n最大时，正整数n的值为

 

．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得到等比数列的通项公式，求出它的前n项之积T_n，要使T_n最大，则a_n-2a_n≥1．由此列式求得n值．

解答： 解：在等比数列{a_n}中，由首项a₁=2012，公比q=-

1

2

，
得an=a1qn-1=2012•(-

1

2

)n-1．
T_n=a1a2…an=(a1)n•(-

1

2

)

n(n-1)

2

．
若使T_n最大，则

n(n-1)

2

被2整除，故n被4整除，
由此，第n-2项与第n项均为负，其乘积取正，则需要满足a_n-2a_n≥1．
而an-2an=a12q2n-4=20122(-

1

2

)2n-4＜20482(

1

2

)2n-4=2^26-2n．
由26-2n＞0，得n＜13，又n∈N^*，
∴正整数n的值为12．
故答案为：12．

点评：本题考查了等比数列的性质，考查了数学转化思想方法，关键是对题意的理解，是中档题．