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11.已知函数$f(x)={x^3}+a{x^2}+bx在x=-\frac{2}{3}与x=1$处都取得极值.
(1)求a,b的值;   
(2)求f(x)的单调区间.

分析 (1)求出函数的导数,得到关于a,b的方程组,解出即可求出a,b的值;
(2)解关于导函数的不等式,从而求出函数的单调区间.

解答 解:(1)由已知可得f'(x)=3x2+2ax+b,
由$\left\{\begin{array}{l}f'(-\frac{2}{3})=\frac{12}{9}-\frac{4}{3}a+b=0\\ f'(1)=3+2a+b=0\end{array}\right.$…(3分)
可得$a=-\frac{1}{2},b=-2$;…(6分)
(2)由(1)知f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),
由$f'(x)=0,得x=-\frac{2}{3}或x=1$.列表如下:

x$(-∞,-\frac{2}{3})$$-\frac{2}{3}$$(-\frac{2}{3},1)$1(1,+∞)
f'(x)+0-0+
f(x)极大极小
所以函数f(x)的递增区间为$(-∞,-\frac{2}{3})$与(1,+∞),递减区间为$(-\frac{2}{3},1)$;…(12分)

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题,考查导数的应用,是一道基础题.

练习册系列答案
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