Question

用数学归纳法证明：对于大于1的任意自然数n，都有

1

12

+

1

22

+

1

32

…

1

n2

＜2-

1

n

成立．

Answer 1

分析：首先题目要求应用数学归纳法证明不等式，数学归纳法的一般步骤是，第一步验证第一项是否成立，第二步假设n=k时候结论成立，去验证n=k+1时候结论是否成立．若都成立即得证．

解答：证明：①当n=2时，结论成立；
②假设n=k（k＞1，k∈Z）时，不等式成立；
当n=k+1时，左边 ＜2-

1

k

+

1

(k+1) 2

，
下证：2-

1

k

+

1

(k+1) 2

＜ 2-

1

k+1

即证：

1

k+1

-

1

k

+

1

(k+1) 2

＜ 0，
即证

1

(k+1) 2

＜ 

1

k(k+1)

，?k+1＞k，这个是显然成立的，
得结论成立，即当n=k+1时，不等式成立，
由①②根据归纳原理，不等式成立．
即得证．

点评：此题主要考查的是用数学归纳法证明不等式，属于中档题目，同学们做题的时候要注意分析题目要求切忌不能用别的方法证明．