Question

20．已知函数f（x）=log₂（1-x），g（x）=log₂（1+x），令F（x）=f（x）-g（x）．
（1）求F（x）的定义域；
（2）若a，b∈（0，1），猜想F（a）+F（b）与F（$\frac{a+b}{1+ab}$）之间的关系并证明．

Answer 1

分析 （1）由真数大于零列出不等式组解出即可；
（2）分别求出F（a）+F（b）与F（$\frac{a+b}{1+ab}$）的解析式，利用对数函数的单调性比较真数的大小即可得出结论．

解答 解：（1）由式子有意义得：
$\left\{\begin{array}{l}{1-x＞0}\\{1+x＞0}\end{array}\right.$，解得-1＜x＜1．
∴F（x）的定义域为（-1，1）．
（2）F（x）=f（x）-g（x）=log₂$\frac{1-x}{1+x}$，
F（a）+F（b）=log₂$\frac{1-a}{1+a}$+log₂$\frac{1-b}{1+b}$=log₂$\frac{1-a-b+ab}{1+a+b+ab}$，
F（$\frac{a+b}{1+ab}$）=log2$\frac{1-\frac{a+b}{1+ab}}{1+\frac{a+b}{1+ab}}$=log₂$\frac{1-a-b+ab}{1+a+b+ab}$，
∴F（a）+F（b）=F（$\frac{a+b}{1+ab}$）．

点评 本题考查了对数函数的定义域，对数函数的单调性应用，属于基础题．