Question

若不等式|x+2|+|x-1|≥a对于x∈R恒成立，则实数a的取值范围是

（-∞，3]

．

Answer 1

分析：首先分析题目已知不等式|x+2|+|x-1|≥a恒成立，求a的取值范围，故可以考虑设y=|x-1|+|x+2|，然后分类讨论去绝对值号，求解出函数y=|x-1|+|x+2|的最小值，然后把a小于等于最小值，即可满足条件．

解答：解：设y=|x-1|+|x+2|，
当-2≤x≤1时，y=-（x-1）+（x+2）=3
当x＞1时，y=（x-1）+（x+2）=2x+1＞3
当x＜-2时，y=-（x-1）-（x+2）=-2x-1＞3
故y=|x-1|+|x+2|有最小值3．
不等式|x+2|+|x-1|≥a恒成立即a必小于等于y=|x-1|+|x+2|的最小值3．
故取值范围为（-∞，3]．
故答案为（-∞，3]．

点评：此题主要考查绝对值不等式的解法问题，其中涉及到分类讨论去绝对值的思想，题目计算量小，涵盖知识点少，属于基础性题目．