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有下列几个命题:
①函数在(-∞,-1)∪(-1,+∞)上是减函数;
②已知f(x)在R上是增函数,若a+b>0,则有f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b);
③已知函数y=f(x)是R上的奇函数,且当x≥0时,,则当x<0时,
④已知定义在R上函数f(x)满足对?x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,则f(x)是R上的增函数;⑤如果a>1,则函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点.
其中正确命题的序号是    .(写出全部正确结论的序号)
【答案】分析:分别利用函数的单调性与单调区间的性质,可以判断(1)(2)(4)的正误,利用函数的奇偶性和函数零点的结论,可以判断出(3)(5)的正误,最后可以得出正确命题的序号.
解答:解:对于①,函数的图象有两支,所以单调减区间应该是(-∞,-1)和(-1,+∞)上是减函数,不能用并集符号,是假命题;
对于②,由a+b>0得a>-b,根据增函数性质得f(a)>f(-b),同理可得f(b)>f(-a),两式相加可得f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b),②是真命题;
对于③当x<0时,-x>0,故f(-x)=-x(1+)=-f(x),因此f(x)=,③是真命题;
对于④,对?x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y),可以先取y=0,得f(x+0)=f(x)+f(0)⇒f(0)=0
再取y=-x,得f(x+(-x))=f(x)+f(-x)=0,所以函数为奇函数,
再用单调性的定义结合当x>0时,f(x)>0,可以证得f(x)是R上的增函数;
对于⑤,f(x)=ax-x-a=0等价于:ax=x+a,由于a>1,可在同一坐标系内作出方程两边对应的图象,可得两个图象有两个公共点,所以⑤是真命题.
故答案为②④⑤
点评:本题着重考查了函数的奇偶性和单调性的判断、函数的零点和命题真假的判断等问题,属于综合题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

有下列几个命题:
①函数y=2x2+x+1在(0,+∞)上不是增函数;②函数y=
1
x+1
在(-∞,-1)∪(-1,+∞)上是减函数;③函数y=
5+4x-x2
的单调区间是[-2,+∞);④已知f(x)在R上是增函数,若a+b>0,则有f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).其中正确命题的序号是
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

有下列几个命题:
①函数y=
1
x+1
在(-∞,-1)∪(-1,+∞)上是减函数;
②已知f(x)在R上是增函数,若a+b>0,则有f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b);
③已知函数y=f(x)是R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x(1+
3x
)
,则当x<0时,f(x)=-x(1-
3x
)

④已知定义在R上函数f(x)满足对?x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,则f(x)是R上的增函数;⑤如果a>1,则函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点.
其中正确命题的序号是
 
.(写出全部正确结论的序号)

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

有下列几个命题:
①函数y=
1
x+1
在(-∞,-1)∪(-1,+∞)上是减函数;
②已知f(x)在R上是增函数,若a+b>0,则有f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b);
③已知函数y=f(x)是R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x(1+
3x
)
,则当x<0时,f(x)=-x(1-
3x
)

④已知定义在R上函数f(x)满足对?x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,则f(x)是R上的增函数;⑤如果a>1,则函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点.
其中正确命题的序号是______.(写出全部正确结论的序号)

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科目:高中数学 来源:2006年高考第一轮复习数学:2.3 函数的单调性(解析版) 题型:解答题

有下列几个命题:
①函数y=2x2+x+1在(0,+∞)上不是增函数;②函数y=在(-∞,-1)∪(-1,+∞)上是减函数;③函数y=的单调区间是[-2,+∞);④已知f(x)在R上是增函数,若a+b>0,则有f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).其中正确命题的序号是   

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