Question

20．如图所示，从一个半径（1+$\sqrt{3}$）m的圆形纸板中切割出一块中间是正方形，四周是四个正三角形的纸板，以此为表面（舍弃阴影部分）折叠成一个正四棱锥，则该四棱锥的体积是（　　）m³．

• A． $\frac{4\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{6}$

Answer 1

分析 由折叠前的图形知，底面正方形ABCD，侧面正△PAB，斜高PM，AB：PM=2：$\sqrt{3}$，由 $\frac{1}{2}$AB+PM=（1+$\sqrt{3}$）m，得AB=2m，PM=$\sqrt{3}$m，从而得出四棱锥的高和体积．

解答 解：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面正方形ABCD，侧面正△PBC，
斜高PM，AB：PM=2：$\sqrt{3}$，
且$\frac{1}{2}$AB+PM=（1+$\sqrt{3}$）m，则AB=2m，h=$\sqrt{（\sqrt{3}m）^{2}-{m}^{2}}$=$\sqrt{2}$m，
所以，该四锥体的体积为：V=$\frac{1}{3}$•S_{正方形ABCD}•h=$\frac{1}{3}$•（2m）²•$\sqrt{2}$m=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$m³．
故选：A．

点评 本题是通过四棱锥的侧面展开图求其体积，关键是由斜高，高和斜高在底面的射影组成Rt△，求出高，从而求得体积．