【题目】已知函数在处取得极值.
(1)求实数的值;
(2)若,试讨论的单调性.
【答案】(1);(2)在和上单调递减,在和上单调递增.
【解析】
分析:(I)由题意,求得函数的导数,又由题意得,即可求解实数的值;
(II)由(I)得,求得,求得的根,即可求解函数的单调区间.
详解:(I)对f(x)求导得f'(x)=3ax2+ax,
因为f(x)在x=-处取得极值,所以f'(-)=0,
即3a·+2·(-)=-=0,解得a=.
(II)由(I)得g(x)=()ex,故g'(x)=()ex+()ex=()ex
=x(x+1)(x+4)ex. 令g'(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4.
当x<-4时,g' (x)<0,故g(x)为减函数;
当-4<x<-1时,g'(x)>0,故g(x)为增函数;
当-1<x<0时,g'(x)<0,故g(x)为减函数;
当x>0时,g'(x)>0,故g(x)为增函数.
综上知,g(x)在(-,-4)和(-l,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+∞)内为增函数.
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【题目】某校为了提高学生的身体素质,决定组建学校足球队,学校为了解学生的身体素质,对他们的体重进行了测量,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右3个小组的频率之比为1:2:3,其中第2小组的频数为12.
(1)求该校报名学生的总人数;
(2)从报名的学生中任选3人,设X表示体重超过60kg的学生人数,求X的数学期望.
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【题目】已知函数f(x)=ex·(a++lnx),其中a∈R.
(I)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线y=-垂直,求a的值;
(II)当a∈(0,ln2)时,证明:f(x)存在极小值.
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【题目】某种树苗栽种时高度为A(A为常数)米,栽种n年后的高度记为f(n).经研究发现f(n)近似地满足 f(n)=,其中,a,b为常数,n∈N,f(0)=A.已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍.
(1)栽种多少年后,该树木的高度是栽种时高度的8倍;
(2)该树木在栽种后哪一年的增长高度最大.
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【题目】已知函数(其中,,,是实数常数,).
(1)若,函数的图象关于点成中心对称,求,的值;
(2)若函数满足条件(1),且对任意,总有,求的取值范围;
(3)若,函数是奇函数,,,且对任意时,不等式恒成立,求负实数的取值范围.
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【题目】某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐3名男生,2名女生,B中学推荐了3名男生,4名女生,两校推荐的学生一起参加集训,由于集训后队员的水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人,女生中随机抽取3人组成代表队
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.
(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X表示参赛的男生人数,求X得分布列和数学期望.
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【题目】将函数的图象向左平移个单位,得到函数的图象,则下列说法正确的是( ).
A. B. 直线是的图象的一条对称轴
C. 的最小正周期为D. 为奇函数
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【题目】为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求:
①顾客所获的奖励额为60元的概率;
②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;
(2)商场对奖励总额的预算是60000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.
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