Question

函数f（x）=a

x

+

b

x

的图象过点（1，3）和（4，3），
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）用定义证明函数y=f（x）在[2，+∞）上单调递增．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）点（1，3）和（4，3），代入解析式判断求解．
（2）运用单调性定义证明判断，作差分解因式，判断符号．

解答： 解：（1）

f(1)=3 f(4)=3

，即

a+b=3 2a+ b 2 =3

解得：

a=1 b=2

（2）任取2≤x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=（

x1

-

x2

）

( x1 x2 -2)

x1 x2

=（

x1-x2

x1 + x2

）

( x1 x2 -2)

x1 x2

∵任取2≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，又

2

＜

x1

＜

x2

，

x1

x2

-2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）
故：函数y=f（x）在[2，+∞）上单调递增．

点评：本题考查了函数的基本概念，性质的定义，证明，属于基本题目，难度不大．