Question

已知双曲线的中心在原点且一个焦点是F（，0），直线y=x-1与其相交于M，N两点．若MN的中点横坐标为，则此双曲线的方程为    ．

Answer 1

【答案】分析：先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及MN中点的横坐标可得a、b的一个方程，又双曲线中有c2=a2+b2，则另得a、b的一个方程，最后解a、b的方程组即得双曲线方程．
解答：解：设双曲线方程为-=1．
将y=x-1代入 -=1，整理得（b²-a²）x²+2a²x-a²-a²b²=0．
由韦达定理得x₁+x₂=，则 ==-．
又c²=a²+b²=7，解得a²=2，b²=5，
所以双曲线的方程是．
故答案为：．
点评：本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等．