Question

【题目】已知函数f（x）=ln（x+1）+ax2 ， a＞0．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）在区间（﹣1，0）有唯一零点x0 ， 证明： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由（1）及f（0）=0可知：仅当极大值等于零，即f（x1）=0时，符合要求．

此时，x1就是函数f（x）在区间（﹣1，0）的唯一零点x0．

所以 ，从而有 ，

又因为 ，所以 ，

令x0+1=t，则 ，

设 ，则 ，

再由（1）知： ，h'（t）＜0，h（t）单调递减，

又因为 ， ，

所以e﹣2＜t＜e﹣1，即

（2）解：由（1）及f（0）=0可知：仅当极大值等于零，即f（x1）=0时，符合要求．

此时，x1就是函数f（x）在区间（﹣1，0）的唯一零点x0．

所以 ，从而有 ，

又因为 ，所以 ，

令x0+1=t，则 ，

设 ，则 ，

再由（1）知： ，h'（t）＜0，h（t）单调递减，

又因为 ， ，

所以e﹣2＜t＜e﹣1，即

【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间；（2）求出 ，得到 ，令x0+1=t，则 ，设 ，根据函数的单调性证明即可．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．