Question

2．已知命题α：|a-1|＜2，β：方程x²+（a+2）x+1=0没有正根，求实数a的取值范围，可得命题α，β有且只有一个是真命题．

Answer 1

分析 命题α，β有且只有一个是真命题，知两个命题一真一假，故要分为两类求解，α真β假或α假β真，首先要将两个命题中的条件进行化简，再分类讨论．

解答 解：由命题α：|a-1|＜2，得-2＜a-1＜2，∴-1＜a＜3；
∵方程x²+（a+2）x+1=0没有正根，分为两类求解，一是方程无解，二是有两个非正实根，
令f（x）=x²+（a+2）x+1，则f（0）=1，
∴当无解时，△=（a+2）²-4＜0，解得-4＜a＜0；
当有两个非正根时，$\left\{\begin{array}{l}{△≥0}\\{-\frac{a+2}{2}＜0}\end{array}\right.$，解得a≥0．
∴当方程x²+（a+2）x+1=0没有正根时，a的取值范围是：a＞-4．
∵命题α，β有且只有一个是真命题，
∴当α真β假时，得a∈∅；
当α假β真时，得-4＜a≤-1或a≥3．
∴命题α，β有且只有一个是真命题时，a的取值范围是（-4，-1]∪[3，+∞）．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，求解本题关键是化两个条件，尤其是命题β：方程x²+（a+2）x+1=0不存正实数根这个条件的转化，易因忘记方程无根时也满足无正根而导致错误，做题是要考虑完善，转化要注意验证是否等价，该题是中档题．