分析 先求出函数f(x)的导数,得到函数f(x)的单调性,从而求出其最小值为f(0)=0,再结合函数的奇偶性证明即可.
解答 证明:令f(x)=cosx-1+$\frac{{x}^{2}}{2}$,则f′(x)=x-sinx.
当x>0时,由单位圆中的正弦线知必有x>sinx,
∴f′(x)>0,
即f(x)在(0,+∞)上是增函数.
又∵f(0)=0,且f(x)连续,
∴f(x)在区间[0,+∞]内的最小值 f(0)=0,
即f(x)≥0,得cosx-1+$\frac{{x}^{2}}{2}$≥0,
即cosx≥1-$\frac{{x}^{2}}{2}$.∵f(-x)=cos(-x)-1+$\frac{{(-x)}^{2}}{2}$=f(x),
∴f(x)为偶函数,
即当x∈(-∞,0)时,f(x)≥0仍成立.
∴对任意的x∈R,都有cosx≥1-$\frac{{x}^{2}}{2}$.
点评 本题考察了不等式的证明,考察函数的单调性和奇偶性问题,是一道中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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A. | f(x)=x2+4 | B. | f(x)=log2x | C. | f(x)=2x | D. | $f(x)=3+\frac{2}{x}$ |
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