Question

19．在等比数列{a_n}中，a₁=1，且a₂是a₁与a₃-1的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=$\frac{n（n+1）{a}_{n}+1}{n（n+1）}$，（n∈N^*）．求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q，运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，解方程可得q，进而得到所求通项公式；
（2）求出b_n=$\frac{n（n+1）•{2}^{n-1}+1}{n（n+1）}$=2^n-1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，运用数列的求和方法：分组求和，以及裂项相消求和，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
a₁=1，且a₂是a₁与a₃-1的等差中项．
即有a₁+a₃-1=2a₂，
即为1+q²-1=2q，解得q=2（0舍去），
即有a_n=a₁q^n-1=2^n-1；
（2）b_n=$\frac{n（n+1）{a}_{n}+1}{n（n+1）}$=$\frac{n（n+1）•{2}^{n-1}+1}{n（n+1）}$=2^n-1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
数列{b_n}的前n项和S_n=（1+2+…+2^n-1）+（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$+1-$\frac{1}{n+1}$=2ⁿ-$\frac{1}{n+1}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，等差数列的中项的性质，考查数列的求和方法：分组求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．