Question

15．解关于x的不等式x²+a（a+1）x+a³＞0．

Answer 1

分析 把不等式左边因式分解后发现，需要对a的取值进行讨论，因此，分a=0，a=1，0＜a＜1及a＜0或a＞1四种情况求解二次不等式，最后把不等式的解集分别下结论．

解答 解：x²+（a²+a）x+a³＞0，
即（x+a）（x+a²）＞0．
当a=0时，原不等式化为x²＞0，不等式的解集为{x|x≠0}；
当a=1时，原不等式化为（x+1）²＞0，不等式的解集为{x|x≠-1}；
当0＜a＜1时，a²＜a，解得：-a＜x＜a²．所以，原不等式的解集为{x|-a＜x＜-a²}；
当a＜0或a＞1时，a＜a²，解得：-a²＜x＜-a，所以，原不等式的解集为{x|-a²＜x＜a}．
综上：当a=0原不等式的解集为{x|x≠0}；
a=1时，不等式的解集为{x|x≠-1}；
当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|-a＜x＜-a²}；
当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|-a²＜x＜a}．

点评 本题考查了含有参数的一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，需要注意的是最后的结论不能取并集，此题是中档题．