Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的函数，f（x）=-f（-x），且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0，有．
（1）证明函数f（x）在[-1，1]上是增函数；
（2）若f（x-1）＜f（2x），求x的取值范围．
（3）附加题（5分）：若f（x）≤-2am+2，对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）证明：任取-1≤x₁＜x₂≤1，

∵＞0，x₁-x₂＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[-1，1]上是增函数
（2）解：∵f（x）在[-1，1]上是增函数，f（x-1）＜f（2x），
∴，
整理，得
∴x的取值范围是：{x|}．
（3）解：∵f（x）在[-1，1]上是增函数，
∴f_max（x）=f（1）=1，
∵要使f（x）≤-2am+2，对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
只需-2am+2≥1，
即2am-1≤0，
设g（a）=2ma-1，
∴，即，
解得．
分析：（1）任取-1≤x₁＜x₂≤1，，由此能够证明f（x）在[-1，1]上是增函数．
（2）由f（x）在[-1，1]上是增函数，f（x-1）＜f（2x），知，由此能求出x的取值范围．
（3）由f（x）在[-1，1]上是增函数，知f_max（x）=f（1）=1，要使f（x）≤-2am+2，对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，只需2am-1≤0，由此能求出实数m的取值范围．
点评：本题考查函数恒成立问题的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易错点是要使f（x）≤-2am+2，对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，只需-2am+2≥1，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．